Matemáticas y arte: tantas conexiones

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István Orosz – Puentes

El tema Matemáticas Y Arte puede parecer extraño para aquellos que están más acostumbrados a pensar las Matemáticas O el Arte de manera independiente pero, de hecho, hay muchos conectores para llenar el espacio en blanco.

Matemáticas ___ Arte
y su gemelo
Arte___ Matemáticas.

De hecho, las numerosas interconexiones entre las matemáticas y el arte proporcionan una gran cantidad de material. En este breve ensayo, destacaré algunas de las formas posibles de completar los espacios en blanco de esta relación. A su vez espero que esto te estimule a explorar muchas otras.

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Makoto Nakamura

Las matemáticas producen arte

En el nivel más práctico, las herramientas matemáticas siempre se han utilizado de manera esencial en la creación de arte. Desde la antigüedad, la brújula, la regla y la escuadra, aumentadas por otras herramientas simples de dibujantes y artesanos, se han utilizado para crear hermosos diseños realizados en la arquitectura y decoración de palacios, catedrales y mezquitas. Los intrincados teselados árabes en azulejo, ladrillo y estuco que adornan sus edificios y la tracería igualmente intrincada de las ventanas góticas y los interiores son un testimonio del uso imaginativo del conocimiento geométrico antiguo. [R1], [R4], [R21]

Durante el Renacimiento, varios artistas usaron cuadrículas simples y dispositivos matemáticos para representar con precisión escenas en una superficie plana, de acuerdo con los principios de la perspectiva lineal. Varios de los grabados de Durero dan una idea de estas técnicas. La simbiosis del arte y las matemáticas en estos tiempos, como la perspectiva lineal y la geometría proyectiva se desarrollaron, es uno de los ejemplos más notables de arte y matemáticas que evolucionan casi simultáneamente en nuevas direcciones. [R7]

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Crockett Johnson

Las herramientas matemáticas de hoy en día son más sofisticadas, y la tecnología digital se está convirtiendo rápidamente en la elección principal. En las manos de un artista, las computadoras pueden producir arte, impulsadas por procesos matemáticos internos complejos invisibles que proporcionan sus habilidades mágicas. Las transformaciones matemáticas proporcionan los medios por los cuales una imagen o forma en una superficie o espacio se representa en otra. El arte es ilusión y las transformaciones son importantes para crear ilusión. Las isometrías, las similitudes y las transformaciones afines pueden transformar las imágenes con exactitud o con una distorsión determinada; las proyecciones pueden representar tres (y más) formas tridimensionales en superficies de imágenes bidimensionales, incluso curvas. Transformaciones especiales pueden distorsionar o descifrar una imagen distorsionada, produciendo arte anamórfico. Todas estas transformaciones se pueden describir matemáticamente, y el uso de redes de guía para ayudar a realizar estas transformaciones ha sido reemplazado hoy en gran parte por software de computadora. Compases, reglas, cuadrículas, dispositivos mecánicos, teclado y mouse son herramientas físicas para la creación de arte, pero sin el poder de las relaciones y procesos matemáticos estas herramientas tendrían poco poder creativo.

Las matemáticas generan arte

El patrón es un concepto fundamental tanto en matemáticas como en arte. Los patrones matemáticos pueden generar patrones artísticos. A menudo, un algoritmo de coloración puede producir “arte automático” que puede ser tan sorprendente o estéticamente agradable como el producido por una mano humana. Las versiones coloreadas del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia son ejemplos sorprendentes de esto: cada uno se genera mediante la ecuación recursiva  zn = zn -12 + C. En el caso del conjunto de Mandelbrot, la ecuación se itera para cada punto C en el plano complejo, donde z0 = 0  y el punto C se colorea de acuerdo con reglas basadas en si los valores iterados eventualmente exceden 2 y el número de iteraciones después de lo cual ocurre esto. [P15] Otros fractales, así como imágenes basadas en atractores, también se producen por iteración y coloración de acuerdo con las reglas. La complejidad de estas imágenes, sus simetrías y la interminable (en teoría) continuidad de los diseños en escalas cada vez más pequeñas, las hace fascinantes.

Patrones matemáticos mucho más mundanos también pueden proporcionar arte sorprendente. Por ejemplo, comience con una matriz de números (como un gran conjunto de datos, una secuencia, una tabla de operaciones modulares o el triángulo de Pascal) y coloree los números en la matriz de acuerdo con alguna regla. A menudo surgen patrones sorprendentes, incluso arte. Los algoritmos recursivos aplicados a figuras geométricas pueden generar patrones atractivos auto-similares. Comienza con una curva, una figura cerrada o una forma espacial simple, aplica un algoritmo para alterar esa figura sumando (o restando) partes específicas de esa figura, luego repite el algoritmo recursivamente. Muchos mosaicos no periódicos (como las pendientes de Penrose) también se pueden generar automáticamente, comenzando con un pequeño parche de teselas y luego aplicando un algoritmo recursivo de “inflación”.

Las transformaciones y la simetría también son conceptos fundamentales tanto en matemáticas como en arte. Los matemáticos realmente definen la simetría de los objetos (funciones, matrices, diseños o formas en superficies o en el espacio) por su invarianza bajo un grupo de transformaciones. Por el contrario, la aplicación de un grupo de transformaciones a diseños simples u objetos espaciales genera automáticamente patrones y formas maravillosamente simétricos. En 1816, el caleidoscopio recientemente inventado de Brewster demostró el poder de las leyes de la reflexión para generar automáticamente llamativas rosetas de fragmentos de fragmentos de colores entre dos espejos. [P3] Hoy los programas de computadora usan grupos de simetría para generar rosetas, bordes, diseños de papel tapiz [R11], y diseños de límites de círculo similares a Escher. [R6] Cada uno de estos diseños comienza con un pequeño fragmento o motivo (elegido juiciosamente o al azar) cuyas imágenes transformadas completan el diseño completo. Las teselaciones periódicas, ya sean geométricas o similares a Escher, pueden generarse automáticamente mediante programas de computadora [R12] o a mano, siguiendo recetas que emplean isometrías.

El arte ilumina las matemáticas

Cuando los patrones o procesos matemáticos generan automáticamente arte, puede producirse un efecto inverso sorprendente: el arte a menudo ilumina las matemáticas. ¿Quién podría haber adivinado las pepitas matemáticas que de otro modo podrían estar ocultas en un torrente de información simbólica o numérica? El proceso de coloreado permite que la información adopte una forma visual que proporcione identidad y reconocimiento. ¿Quién podría adivinar la forma límite o la simetría de un fractal producido algorítmicamente? Con representación visual, el matemático puede exclamar “¡ahora veo!”

Como los teselados periódicos pueden ser generados por grupos de isometrías, pueden usarse para iluminar conceptos matemáticos abstractos en la teoría de grupos que muchos encuentran difíciles de captar en forma simbólica: generadores, conjuntos laterales, subgrupos de estabilizadores, subgrupos normales, conjugados, órbitas y extensiones grupales. , para nombrar unos pocos. [R20]

En los ejemplos anteriores, la iluminación de las matemáticas es un resultado fortuito del arte creado por otras razones. Pero hay ejemplos en los que el objetivo principal del artista es expresar, incluso incorporar las matemáticas. Varias copias de M.C. Escher es el resultado de sus intentos de expresar visualmente conceptos matemáticos tales como infinito, dualidad, dimensión, recursividad, morfología topológica y auto-similitud. [R16] Tal vez los ejemplos más llamativos de arte que iluminan las matemáticas los proporcionen las pinturas de Crockett Johnson y las esculturas de Helaman Ferguson. De 1965 a 1975, Johnson produjo más de 100 pinturas al óleo abstractas, cada una de las cuales representaba un teorema matemático. [P14] Las esculturas de Ferguson celebran la forma matemática, y han sido denominadas “teoremas en bronce y piedra”. Cada uno comienza con la idea de capturar la esencia de un teorema o relación matemática, y se ejecuta mediante el aprovechamiento de toda la potencia de las herramientas guiadas por la matemática y guiadas a mano. [P9]

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Helaman Ferguson

Las matemáticas inspiran el arte

Los patrones, diseños y formas que son el producto “automático” de procesos puramente matemáticos (como los descritos en “Las matemáticas generan arte”) suelen ser demasiado precisos, demasiado simétricos, demasiado mecánicos o demasiado repetitivos para mantener la atención del espectador de arte. Pueden ser agradables e interesantes, y divertidos de crear (y proporcionan mucho “arte hobby”), pero en su mayoría carecen de la sutileza, la espontaneidad y la desviación de la precisión que ofrecen la intuición artística y la creatividad. En las manos de un artista, el arte producido matemáticamente es solo un comienzo, un esqueleto o una plantilla en la que el artista aporta imaginación, entrenamiento y una visión personal que puede transformar la perfección matemática en una imagen o forma que está verdaderamente inspirada.

Los patrones de papel tapiz y teselados pueden ser agradables desde un punto de vista decorativo; pocos serían vistos como arte. [P24] (Siento que [P20] es una excepción). Escher no vio sus teselados como arte, sino como fragmentos para ser una parte integral de sus complejas impresiones. El arte de Makoto Nakamura también emplea esta técnica. [P17] Jinny Beyer, diseñadora y artista de colchas, usa su intuición artística y sentido del color para convertir teselaciones en arte. [P2] Los diseños caleidoscópicos son la inspiración para el arte acolchado de Paula Nadelstern; su uso del color y la composición rompe sutilmente las reglas matemáticas. [P16]

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Jinny Beyer

Dick Termes usa fotografías y cuadrículas para guiar sus proyecciones de imágenes en la superficie de una esfera, pero sus “Termespheres” tienen su interpretación personal. [P23] Los artistas anamórficos István Orosz [P18] y Kelly Houle [P13] se guían por reglas matemáticas de transformación, ya que crean distorsiones misteriosas de las imágenes en el plano de la imagen, pero también usan su intuición e imaginación, controlando con un cilindro reflejado como el el trabajo se desarrolla.

La forma matemática pura, a menudo con gran simetría, es la inspiración de varios escultores que crean obras líricas e impresionantes. Con la vista y la mano practicadas, confiando en su experiencia con madera, piedra, bronce y otros materiales táctiles, los artistas se desvían, exageran, restan, superponen, rodean o cambian la forma en algo nuevo, a menudo deslumbrantemente hermoso. Con el advenimiento de las herramientas digitales para crear esculturas, las posibilidades de experimentación sin destrucción de material o de producir formas imposibles de otra manera amplían infinitamente las habilidades del escultor. [P4], [P5], [P12], [P19], [P21], [P22]

Las matemáticas limitan el arte

A menudo escuchamos hablar de “libertad artística” o “licencia artística”, que implica el rechazo de las reglas para tener libertad de expresión. Sin embargo, muchas restricciones matemáticas no pueden ser rechazadas; los artistas, ignorantes de estas limitaciones pueden esforzarse por realizar una idea solo para descubrir que su realización es, de hecho, imposible. El teorema de Euler (v + f = e + 2) y el teorema de Descartes (la suma de los defectos del vértice de cada poliedro convexo es 720°) rigen la geometría de los poliedros. Otros teoremas rigen la topología de nudos y superficies, aspectos de simetría y periodicidad en superficies y en el espacio, hechos de relación, proporción y similitud, la necesidad de convergencia de líneas paralelas a un punto, y así sucesivamente. En lugar de limitar el arte o exigir que el arte se ajuste a un conjunto limitado de reglas, la comprensión de las limitaciones matemáticas esenciales libera a los artistas para usar su intuición y creatividad plenas dentro de las limitaciones, incluso para superar los límites de esas restricciones. Las restricciones no necesitan ser negativas; pueden mostrar el reino a menudo ilimitado de lo posible.

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Kelly Houle

Las restricciones matemáticas voluntarias pueden servir para guiar la creación artística. La proporción siempre ha sido fundamental en la estética del arte, la composición guía, el diseño y la forma. Matemáticamente, esto se traduce en la observancia de razones. Ya sean estos cánones de proporción humana, diseño arquitectónico o incluso símbolos y fuentes de letras, las proporciones conectan partes de un diseño con el todo y entre sí. Las proporciones repetidas implican auto-similitud, apenas un tema nuevo a pesar de su reciente atención matemática. Uno de los primeros avisos que se registran es en la Proposición 30 de Euclides, Libro VI, la división de un segmento en proporción extrema y media (también conocida como corte dorado o sección dorada). Un segmento AB debe dividirse internamente por el punto E de modo que la relación entre AB total y la parte AE sea igual a la relación entre la parte (más grande) AE y la parte (más pequeña) EB. [P8] Esta tarea geométrica produce la relación común AB/AE = (1 + SQRT5)/2, conocida como proporción áurea, denotada como  phi (o tau). La relación tiene muchas propiedades matemáticas únicas, casi mágicas (por ejemplo,  phi2 = phi + 1 y 1/phi = phi – 1), y son estas propiedades, así como las conexiones a la secuencia de Fibonacci, las que han fascinado a los artistas y arquitectos, lo que les permite producir diseños y composiciones con propiedades especiales. Otras proporciones y construcciones geométricas especiales (rectángulos raíz, rectángulos recíprocos y cuadrículas de figuras similares) también guían la composición y el diseño. [R10],

El arte engendra las matemáticas

Es de esperar que en la ejecución de una obra de arte surjan preguntas matemáticas que el artista (o fabricante) debe responder. Esto va con el territorio. En muchos casos, los artistas tendrán dificultades para responder las preguntas por sí mismos a fin de llegar a la respuesta de una manera que tenga sentido para ellos. Escher hizo esto al tratar de responder la pregunta “¿Cómo puedo crear una forma que embaldosará el plano de tal manera que cada baldosa esté rodeada de la misma manera?” [R15] A veces, estas preguntas necesitan la atención de matemáticos, ingenieros o diseñadores de software capacitados, y brindan problemas prácticos e interesantes para resolver. Los intrincados patrones textiles del diseñador Jhane Barnes son el resultado de una estrecha colaboración con el matemático Bill Jones y el diseñador de software Dana Cartwright de Designer Software. [R14], [P1], [P6]

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Jhane Barnes

También hay casos frecuentes en los que las obras de arte terminadas sugieren preguntas puramente matemáticas, que el artista nunca imaginó ni tuvo que considerar. El arte popular de otros tiempos y otras culturas es una fuente rica de preguntas matemáticas. Los nudos celtas y el arte de las culturas africanas son dos ejemplos. [R5], [R8] Las esculturas modernas también pueden conducir a preguntas matemáticas. [R3] Las teselaciones de Escher y algunas impresiones han sido la fuente de varios desafíos matemáticos, la mayoría aún no resueltos. Dos de estas preguntas matemáticas buscan comprender las relaciones entre la simetría local y global. [R9], [R19]

El mayor artista matemático

Quiero terminar este ensayo con un poco más sobre el trabajo del artista gráfico holandés M.C. Escher (1898-1972), que es quizás el ejemplo reciente más asombroso de un artista cuyo trabajo contiene una multitud de conexiones entre las matemáticas y el arte. [P7] Escher no estaba entrenado matemáticamente, e incluso tuvo dificultades con las matemáticas como estudiante de escuela. Sin embargo, él no rechazó las matemáticas, sino que las descubrió a su manera, utilizando varias fuentes (en su mayoría pictóricas), las matemáticas que necesitaba para realizar sus ideas y visiones. Escher celebró las formas matemáticas: poliedros como decoración, estrellas o estructuras vivas, bandas de moebius, nudos y rejillas espaciales. Utilizó (y algunas veces fusionó) varias geometrías en su trabajo: euclidiana en sus teselados, hiperbólica en su serie límite circular, proyectiva al representar escenas en perspectiva lineal, esférica en grabados y esferas esculpidas. Empleó distorsiones y transformaciones topológicas, perspectivas extrañas o múltiples y recursión visual. Exploró el tema de simetría y teselación en el plano, en la esfera y en el disco de Poincari, desarrollando su propia “teoría del profano” de la clasificación de los tipos de adornos, planar periódicos y coloración simétrica de ellos, anticipándose a los estudios posteriores del matemático y cristalográfico de estos temas [R15] Preguntó y respondió, a su manera, preguntas geométricas combinatorias. [R17] Representó conceptos matemáticos abstractos en metáforas visuales. Y aunque el trabajo de Escher le ganó la admiración de matemáticos y científicos, se sintió aislado como artista. Hoy hay muchos artistas cuyo trabajo está inspirado directa o indirectamente en el trabajo de Escher. Si bien nos ha dejado su propio legado, otros continúan explorando algunos de los caminos que él abrió y también están explorando nuevos caminos a partir de ellos. [R18]

 

Doris Schattschneider

 

Recursos

Tres libros contienen colecciones de ensayos sobre matemáticas y arte. Ivars Peterson [R13] muestra una amplia selección de artistas de arte que ejemplifican la fuerte simbiosis entre el arte y las matemáticas. Otros dos, [R2] y [R18], contienen comentarios reflexivos y discusiones, así como ensayos y obras de arte de artistas contemporáneos. Varios libros y sitios web brindan textos, ideas, problemas y proyectos para cursos enfocados en arte y matemáticas. También ensayos de Mark Frantz y Paul Calter, que imparten cursos de matemáticas, arte y arquitectura. Hay varias organizaciones dedicadas a fomentar la interacción entre el arte, las matemáticas y la ciencia. La mayoría celebra conferencias anuales en las que artistas, matemáticos (y muchos otros) se reúnen para exhibir, dar conferencias, debatir y mezclarse; a menudo los procedimientos (impresos o electrónicos) publican las presentaciones. Los sitios web de varios de estos se enumeran  a continuación.

Organizaciones
[O1] Escultura digital: http://www.intersculpt.org/
[O2] Sociedad Holandesa de Artes y Matemáticas: http://www.arsetmathesis.nl (ver galerij)

[O3] Leonardo / ISAST: http://mitpress2.mit.edu/e-journals/Leonardo (Sociedad Internacional de las Artes, las Ciencias y la Tecnología; consulte la Galería)

[O4] ISAMA: http://www.isama.org/ (Sociedad Internacional de Artes, Matemáticas y Arquitectura)

[O5] Nexus Network Journal: http://www.nexusjournal.com/ (Arquitectura y Matemáticas)

[O6] Bridges: http://www.sckans.edu/~bridges (conferencia anual internacional sobre conexiones matemáticas en arte, música y ciencia; se imprimen documentos recopilados de sus conferencias anuales)

[O7] Visual Mathematics: http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath (revista electrónica de ISIS-Symmetry)

[08] Computación Estética http://www.cise.ufl.edu/~fishwick/aescomputing

Referencias: libros, artículos, software
[R1] Bourgoin, J., Árabe y Geometrical Pattern and Design (placas), Nueva York: Dover, 1973 (orig. 1879).
[R2] Bruter, Claude P., ed., Matemáticas y arte: visualización matemática en arte y educación, Heidelberg: Springer, 2002.
http://www.springer.de/cgi/svcat/search_book.pl?isbn=3-540-43422-4

[R3] Coxeter, H.S.M., “Combinaciones simétricas de tres o cuatro triángulos huecos”, Math. Intelligencer, v. 16 (1994) 25-30. Ver también Burgiel, H., Franzblau, D.S. y Gutschera, K.R., “The Mystery of the Linked Triangles”, Mathematics Magazine, v. 69 (1996) 94-102.

[R4] Critchlow, Keith, Patrones islámicos: un enfoque analítico y cosmológico, Nueva York: libros de Schocken, 1976. Reedición de rústica, Londres: Thames y Hudson, 1999.

[R5] Cromwell, Peter R., “Celtic Knotwork: Arte Matemático”, Matemáticas. Intelligencer, v. 15 (1993) 36-47.

[R6] Dunham, Douglas, “Transformation of Escher Hyperbolic Patterns”, Visual Mathematics, v. 1, no. 1, 1999.
http://members.tripod.com/vismath/pap.htm – n11 También vea el ensayo de Dunham sobre el sitio web del Mes de Conciencia de las Matemáticas 2003.

[R7] Field, J.V., La invención del infinito: Matemáticas y arte en el Renacimiento, Oxford: Oxford University Pr., 1997.

[R8] Gerdes, Paulus, Geometry from Africa: Exploraciones Matemáticas y Educativas, MAA, 1999.

[R9] Grünbaum, Branko, “Desafíos matemáticos en la geometría de Escher”, en M.C. Escher: Arte y Ciencia, H.S.M. Coxeter, M. Emmer, R. Penrose, y M.L. Teuber, eds, Amsterdam: North-Holland, 1986, pp. 53-67.

[R10] Kappraff, Jay, Connections, The Geometric Bridge Between Art and Science, Nueva York: McGraw-Hill, 1991. Second ed., Singapore: World Scientific Publ. Co., 2002. http://www.nexusjournal.com/reviews_v4n4-Jablan.html

[R11] Lee, Kevin, Kaleidomania !, Key Curriculum Press.
http://www.keycollege.com/catalog/titles/kaleidomania.html

[R12] Lee, Kevin, Tessellation Exploration, Tom Snyder Productions.
http://www.tomsnyder.com/free_stuff/free_download.asp?PS=TESEXP

[R13] Peterson, Ivars, Fragments of Infinity: Un caleidoscopio de Matemáticas y Arte, Nueva York: Wiley, 2001.
http://www.isama.org/book/fragments/biblio.html

[R14] Ross, Teri, Matemáticas + Tecnología = Técnica: La Escuela de Diseño Textil Jhane Barnes.
http://www.techexchange.com/thelibrary/jhanebarnes.html

[R15] Schattschneider, Doris, Visions of Symmetry: cuadernos, dibujos periódicos y trabajos relacionados de M.C. Escher, Nueva York: W.H. Freeman, 1990.

[R16] Schattschneider, Doris, “Metáforas de Escher”, Scientific American, v. 271 no. 5 (noviembre de 1994) 66-71.

[R17] Schattschneider, Doris, “Escher’s Combinatorial Patterns”, Electronic J. of Combinatorics, 4 (n. ° 2) (1997), # R17.
http://www.combinatorics.org/Volume_4/wilftoc.html

[R18] Schattschneider, Doris y Emmer, Michele, eds. M.C. El legado de Escher: una celebración centenaria (con CD Rom), Heidelberg: Springer, 2003.
http://www.springer.de/cgi-bin/search_book.pl?isbn=3-540-42458-X

[R19] Schattschneider, Doris y Dolbilin, Nikolai, “Una corona es suficiente para el plano euclidiano”, en cuasicristales y geometría discreta (J. Patera, editor). Fields Institute Monographs, vol. 10, AMS, Providence, RI, 1998, pp. 207-246.

[R20] Senechal, Marjorie, “The Algebraic Escher”, Structural Topology, v. 15 (1988) 31-42.

[R21] Sykes, Mabel, Sourcebook of Problems for Geometry, Palo Alto: Dale Seymour Publ, 2000 (orig., 1912).

Gente y términos
[P1] Jhane Barnes: http://www.jhanebarnes.com/
[P2] Jinny Beyer: http://www.jinnybeyer.com/ (revise la Galería Quilt)

[P3] David Brewster: http://www.brewstersociety.com/brewster_bio.html

[P4] Paul Calter: http://www.sover.net/~pcalter (ver el ensayo de Calter en el sitio web de MAM)

[P5] Brent Collins: http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/collins.html

[P6] Software de diseño: http://www.weavemaker.com/

[P7] M.C. Escher: http://www.mcescher.com/

[P8] Euclid: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

[P9] Helaman Ferguson: http://www.helasculpt.com/

Texto recuperado de mathaware.org y publicado originalmente en abril de 2003

Traducción YVR

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